TENICAS DE CONTEO
Las tecnicas de conteo se utilizan para calcular, el numero de veces o la canridad de veces en que un suceso o accion se presenta.
Las tecnicas utilizadas para el conteo son:
Un arbol se dibuja de la siguiente manera.
Ejercicio:
Luis fernando decea conocer de cuantas formas distintas puede vestirce si tiene las siguientes prendas: un pantalon negro, azul y beige, una playera azul, blanca,roja, y negra, Unos zapatos negros y unos tenis.
A
N B
R
A
A B
R
B B
R
Las tecnicas utilizadas para el conteo son:
- Permutacion
- Convinacion
- Arbol
Un arbol se dibuja de la siguiente manera.
Ejercicio:
Luis fernando decea conocer de cuantas formas distintas puede vestirce si tiene las siguientes prendas: un pantalon negro, azul y beige, una playera azul, blanca,roja, y negra, Unos zapatos negros y unos tenis.
A
N B R
N
A
A B R
N
A
B B R
N
Un matrimobio tiene 3 hijos, basandoce en el siguiente diagrama de arbol ¿cual es la probabilidad de que los dos sean del mismo sexo?
Se determina la variable que se van a utilizar en el diagrama "sea c" cara "sea s" sello
Se tiene una tienda de pantalones,2 camisas y 2 zapatos de color azul y negro. Calcula el numero de combinaciones posibles .
PERMUTACIONES
Se llama permutaciones de N elementos a los diferentes grupos que se pueden formar con esos elementos siguiendo las siguientes reglas.
- Entran todos los elemntos
- Si importa el orden
- Nos se repiten los elementos
Si el ejercicio que se plantea sigue esas tres reglas la formula a aplicar es permutacion.
PN=N1
Donde N es el numero de elementos que van a participar en las agrupaciones.
cuantos numeros de 3 cifras diferentes se pueden frmar on los digitos 1,2,3
PN=N! PN=N!
P3=3
3*2*1=6
P4=4! 4*3*2*1=24
4. Antiguamente los barcos se comunicaban entre si usando banderas de diferentes colores de manera ordenada.
Ejercicios Permutaciones
- ¿Cuantos números de 3 cifras diferentes se puede formar con los dígitos 1,2,3?
3*2*1=6 1,2,3
1,3,2
2,3,1
2,1,3
3,1,2
3,2,1
2.¿Cuantos grupos diferentes de tres vocales se puede formar sin que se repitan los elementos, usando 3 vocales: A,E,O?
3*2*1=6 A,E,O
A,O,E
E,A,O
E,O,A
O,A,E
O,E,A
3.¿Cuantos grupos de 4 elementos se puede formar con los digitos 3,5,7,9?
P4=4! 4*3*2*1=24
3,5,7,9 5,3,7,9 7,5,9,3 9,3,5,7
3,5,9,7 5,3,9,7 7,5,3,9 9,3,7,5
3,9,7,5 5,9,3,7 7,3,5,9 9,7,3,5
3,9,5,7 5,9,7,3 7,3,9,5 9,7,5,3
3,7,9,5 5,7,3,9 7,9,3,5 9,5,3,7
3,7,5,9 5,7,9,3 7,9,5,3 9,5,7,3
4. Antiguamente los barcos se comunicaban entre si usando banderas de diferentes colores de manera ordenada.
P4=4!
4*3*2*1= 24 mensajes
P5=5!
5*4*3*2*1=120 mensajes
Permutaciones con repetición
Se llama permutaciones con repetición a los grupos de elementos que se forman cuando "n" elementos,donde e primer elemento se repite n veces, el segundo también se repite n veces y así se repiten hasta llegar al final de la lista. Estas agrupaciones deben seguir las siguientes reglas;
- Entran todos los elementos.
- Si importa el orden.
- Si se repiten los elementos.
La formula para realizar el calculo de las permutaciones con repetición es la siguiente.
PRn=____Pn_____
a! b! c!
Con las cifras 2,2,2,3,3,3,3,4,4 ¿Cuantos números de 9 cifras se pueden formar? Si los datos son n=9 a=3 b=4 c=2
abc
PRn =____Pn______
a! b! c!
3,4,2
PRn =______Pa______= 9*8*7*6*5*4*3*2*1= 9*8*7*6 = 15120 = 1260
3! 4! 2! 3*2*1.4*3+2 *1 6*2 12
Permutaciones Circulares
Las permutaciones circulares se utilizan cuando os elementos se van a ordenar en circulo
Por ejemplo
Los comensales en una mesa se van a sentar de modo que el primer elemento que se situe en la mesa determina el principio y el fin de la lista.
La formula para la permutacion circular es PC n-1=n!
Ejercicio
- De cuantas formas distintas pueden sentarse 8 personas alrededor de una mesa redonda.
PC n-1= n!
PC 8-1= 71 =7*6*5*4*3*2*1= 5040
PERMUTACIONES FORMULA REGLAS
1. Entran todos los elementos.
Permutaciones P4= 4! 2. Si importa el orden.
3. No se repiten los elementos.
Con repetición PRn=__Pn__ 222 3333 44 a! b! c! a b c
Circulares PCn-1 = n! Tienen que ser un problema relacionado a un circulo.
Ejercicios de Permutaciones
- ¿Cuantas palabras distintas de cuatro letras se pueden formar? Escriba el listado que se forma.
Pn = 4!
Pn = n! = 4! = 4*3*2*1= 24 palabras
ALEX LAEX ELAX XAEL
AELX LAXE ELXA XALE
AEXL LXAE EXAL XLAE
AXLE LXEA EXLA XLEA
AXEL LEAX EALX XELA
ALXE LAEX EAXL XEAL
2.¿Cuantas palabras diferentes de 5 letras se puede fomar con la palabra LIBRO?
Pn = n! =5! = 5*4*3*2*1= 120 palabras
3.¿Cuantas palabras diferentes de 6 letras se puede formar la palabra TRATAR?
PRn = ____Pn_____
a! b! c!
2,2,2
PR =____P6_____ = 6*5*4*3*2*1 =___360___ = 90 palabras
2! 2! 2! 2*1 * 2*1 * 2*1 4
4.¿Cuantas palabras de 10 letras se puede formar usando la palabra TERMÓMETRO?
PR =____P10____ = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 1814400 = 113400 palabras
2! 2! 2! 2! 2! 2*1 x 2*1 x 2*1 x 2*1 x 2*1 16
Principios Fundamentales del Conteo
La enumeración o conteo puede parecer un proceso obvio que un estudiante aprende al estudio aritmética por primera vez. Pero luego según parece se presta poca atención en lo que se refiere a un desarrollo mas amplio del conteo, conforme el estudiante pasa áreas mas difíciles de las matemáticas como el álgebra, la geometría, la trigonometria y el calculo. En consecuencia deberá servir como advertencia acerca del conteo.
La enumeración no termina con la aritmética, también tiene aplicaciones como: la teoría de códigos, la probabilidad y la estadística.
Reglas de la Suma y Producto
- Si una primera tarea puede realizarse de "m" formas mientras que una segunda tarea puede realizarse de "n" formas, y no es posible realizar ambas tareas de manera simultanea entonces para llevar a cabo cualquiera de ellas.
- Si un procedimiento se puede descomponer en las etapas primera y segunda, si existe "m" resultados posibles de la primera etapa, para cada uno de estos resultados existen "n" resultados posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento total se puede realizar en el orden dado.
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